Makalah Penerapan Matematika dalam Ekonomi
BAB I
PENDAHULUAN
Diferensial
membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan
kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat
pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan
manfaat – manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis
yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis
dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan
tingkat maksimum dan tingkat minimum.
Pendekatan
kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi non
linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first derivative) sebuah fungsi, akan
dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara berurutan seksi-seksi
berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan derivative
pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun pada
kedudukan tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna
mengetahui letak dan bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta
hubungan antara fungsi kubik dan derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk
titik ekstrim serta letak titik beloknya. Akan tetapi sebelum semua itu,
marilah kita perhatikan hubungan secara umum antara sebuah fungsi dan
fungsi-fungsi turunannya.
Berdasarkan
kaidah deferensi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat
“n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan perkataan lain, turunan dari
fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi
berderajat 2 adalah sebuah fungsi berderajat 1, turunan dari fungsi berderajat
1 adalah sebuah fungsi berderajat 0 alias sebuah konstanta, dan akhirnya
turunan dari sebuah konstanta adalah 0.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Diferensial
Darivatif atau turunan
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut,
melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari , sewaktu mendekati nilai nol sebagai limit. Akan
tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang
bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini
dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial
berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada
pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan –
perubahan kecil dalam variabel bebas.
Jika fَ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai
x tertentu dan merupakan kenaikan dalam
x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan
oleh persamaan.
df (x) = fَ (x) .
Jika f(x) = x, maka fَ (x) = 1, dan dx = . Jadi jika x merupakan variabel
bebas, maka diferensial dx dari x sama dengan .
Jika y = f(x), maka
dy = fَ (x) dx = dx
Jadi diferensial suatu
variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan diferensial variabel
bebas.
Secara
geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan
misalkan turunannya pada titik P = fَ (x). Maka dx = PQ dan dy = fَ (x) = ( )(PQ) =
Oleh karena
itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan dengan
dx. Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran derivative
sebagai suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel
bebas x pada suatu titik P (x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka
dalam rumusan turunannya.
= fَ (x) = ( )
dy menyatakan kenaikan yang
berpadan dari koordinat tangens pada P.
Perhatikan, bahwa diferensial
dy dan kenaikan dari fungsi yang
berpadan dengan nilai dx = yang sama,
pada umumnya tidaklah sama. Dalam gambar.9 disamping dy = QT sedang = QPَ
Dari gambar itu dapat dilihat
dengan jelas, bahwa = QP', dan dy = QT kurang lebih sama,
jika = PQ sangatlah kecil. Pada hakekatnya
jika variabel bebas kecil sekali perubahannya, maka diferensial fungsi itu
hamper sama dengan kenaikan fungsi. Jika diferensial fungsi dapat dipakai untuk
mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel bebas keci sekali.
B. Penerapan Diferensial Ekonomi
1.Elastisitas
Elastisitas dari suatu
fungsi berkenaan dengan x dapat
didefinisikan sebagai :Ini berarti bahwa elastisitas merupakan limit dari rasio antara perubahan
relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang
sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y
terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y
terhadap perubahan x.
a) Elastisitas
Permintaan
Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap
: elastisitas harga permintaan, price
elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya
perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi,
merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap
persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas
permintaannya :
Dimana tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang
dikatakan bersifat elastic apabila , elastic – uniter jika , dan inelastic bila
. Barang yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang
tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan
berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada
persentase perubahan harganya.
Contoh
kasus:
Fungsi permintaan akan suatu barang
ditunjukan oleh persamaan Qd = 25 – 3 P2 . tentukan
elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
Qd = 25 – 3 P2 .
ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P =
5, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan
berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen.
b) Elastisitas
Penawaran
Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap :
elastisitas harga penawaran, price
elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya
perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi,
merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran
dinyatakan dengan Qs = f(P), maka
elastisitas penawarannya :
Dimana tak lain adalah Q's atau f'(P).
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat
elastic
apabila , elastic – uniter jika dan
inelastic bila . Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika
harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil
daripada persentase perubahan harganya.
Contoh kasus
:
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan
oleh Qs = -200 + 7 P2. Berapa elastisitas penawarannya
pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
Qs
= -200 + 7 P2
Q’s
= dQs / dP = 14 P
Pada P =
10,
Pada P =
15,
berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10,
harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan
bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%
Dan berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 15,
harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah
(berkurang) sebanyak 2,3%
c) Elastisitas Produksi
Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang
menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat
adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio
antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan
jumlah masukan. Jika P melambangkan
jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X
melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi
dinyatakan dengan P = f(X), maka
efisiensi produksinya :
Dimana adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].
Contoh kasus :
Fungsi produksi suatu barang ditunjukan
oleh persamaan P = 6 X2 – X3. Hitunglah elastisitas
produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit.
P = 6 X2 – X3 P’ = dP / dX = 12 X – 3 X2
Pada X =
3,
Pada X =
7,
berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika
jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan
bertambah (berkurang) sebanyak 1 %
Dan berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka
jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan
bertambah (berkurang) sebanyak 9 %
2. Pendapatan Konsumsi
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu
negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori
penggunaan, yakni dikonsumsi dan ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y,
sedangkan konsumsi dan tabungan masing –
masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:
Y = C + S
Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan
sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus
dengan pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan
tabungan akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang,
konsumsi dan tabungan pun akan berkurang pula, sehingga :
DY = ¶C + ¶S à diferensial
Karena
¶C + ¶S = dY à dY/dY = ¶C/dY + ¶S/dY à derivasi
¶C/dY = MPC (Marginal Propensity to Consume)
¶S/dY = MPS (Marginal Propensity to Save)
Sehingga
terbukti bahwa MPC + MPS = 1
3. Pendapatan Tabungan
Konsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri
dari dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini :
S = S (Y,i)
Dimana S adalah tabungan (savings).
Y adalah pendapatan nasional
(national income), dan i adalah suku bunga (interes rate). Fungsi ini kita
asumsikan seperti semua fungsi yang akan kita gunakan disini diasumsikan
kontinu dan memiliki derivative (parsial) kontinu, atau secara simbolis, f Є
C'. Derivatif parsial mengukur
kecenderungan marginal (marginal propensity to save). Jadi, untuk semua
perubahan dalam Y, dY, perubahan S hasilnya dapat
diaproksima dengan kuantitas . Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita
dapat sebagai aproksimasi untuk
menentukan perubahan S yang
dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S
diaproksimsi dengan diferensial
Atau dengan menggunakan notasi
yang lain,
Perhatikan bahwa kedua
derivative parsial Sy dan Si kembali menaikan peran
sebagai “pengubah” yang masing – masing mengubah dY dan di menjadi dS yang
bersesuaian. Pernyataan dS, yang
merupakan jumlah perubahan – perubahan
hasil aproksimasi dari kedua sumber, disebut diferensial total dari
fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari diferensial total ini disebut
diferensiasi total (total differentiation), sebaliknya kedua komponen yang
ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi
tabungan.
Tentu saja ada kemungkinan dimana Y dapat berubah
sedangkan i konstan. Dalam hal ini di = 0 dan diferensial total akan
disederhanakan menjadi diferensial parsial:
. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh )i konstan
BAB III
PENUTUP
Diferensial
membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan perubahan kecil
dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil yang
diperoleh dari proses diferensiasi.
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara
keseluruhan (pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan,
yakni dikonsumsi dan ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan
konsumsi dan tabungan masing – masing
dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan: Y = C + S
Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin
besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun
akan berkurang pula, sehingga : DY = ¶C + ¶S à diferensial
S = S (Y,i), dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah
pendapatan nasional (national income), dan i adalah suku bunga (interes rate).
Demikian
juga jika perubahan dalam i, di kita dapat
sebagai aproksimasi untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi dengan diferensial
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy, “Matematika Terapan
untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1991
No comments:
Post a Comment